Goldener Schnitt

G,

Bezeichnung für ein mathematisches Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderer Größen, dessen Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (Major) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (Minor) entspricht; irrationale Proportion von Breite zu Höhe im Verhältnis 1:1,618 (gerundet). Etymologisch von lt. »sectio aurea« für »Goldener Schnitt«; Synonym »Goldenes Verhältnis«; bis zum Ende des 19. Jahrhundert auch als »Göttliche Proportion« (lt. proportio divina) bezeichnet. 

Ursprung

Die erste überlieferte Abhandlung des mathematische Teilungsverhältnis  1:1,618 findet sich im zweiten Buch der Elemente über geometrische Algebra (Pythagoreer) des griechischen Mathematikers Euklid von Alexandria (um 300 v. Chr.), der die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit dokumentierte. 1 ) Mathematiker und Historiker sind sich aber mehr oder weniger einig, dass dieses Teilungsverhältnis bereits vor Euklid Gelehrten aus Mesopotamien, Indien und China bekannt gewesen sein dürfte.

Euklids Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde in der mathematischen Literatur zunächst als »proportio habens medium et duo extrema« bezeichnet, was ins Deutsche mit »Teilung im inneren und äußeren Verhältnis« übersetzt werden könnte.

Unter Experten scheint Konsens darüber zu bestehen, dass erstmals die Bezeichnung »Goldener Schnitt« 1835 vom deutschen Mathematiker Martin Ohm (1792–1872) in seinem in Fraktur gesetzten Lehrbuch »Die Reine Elementar-Mathematik« in einer Fußnote zu einem Lehrsatz schriftlich dokumentiert wurde. Wobei die Formulierung »goldenen Schnitt« im Sperrsatz abgesetzt ist: 2 )

»Dieße Zertheilung einer beliebigen Linie r in 2 solche Theile, nennt man wohl auch den goldenen Schnitt; auch fragt man in dießem Falle zuweilen: die Linie r werde in stetige Proportion getheilt.«

Ohms Formulierung legt nahe, dass die Begrifflichkeit »Goldener Schnitt« möglicherweise bereits (mündlich) existierte. Auch die Bezeichnung »sectio aurea« soll erst Mitte des 19. Jahrhunderts entstanden sein. 3 )

Mathematische Definition

Der Goldene Schnitt bezieht sich auf folgende mathematischer Formel:

  a + b       a
--------- = -----
    a         b

Eine einfache Rechnung ergibt dann für dieses Teilungsverhältnis, wobei Phi (Φ) eine irrationale Zahl ist, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt: 

      a        1 + √5
Φ = ----- = ----------- ≈ 1,6180339887
      b          2

Dieses Teilungsverhältnis läßt sich in folgendes Diagramm umsetzen: 

Der Goldene Schnitt als Teilungsverhältnis einer Strecke, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem Major dem Verhältnis des größeren zum Minor entspricht. Die Strecke AB der Länge s wird durch einen Punkt T innen so geteilt, dass die Länge a des größeren Teilabschnittes AT mittlere Proportionale zwischen den Längen b der kleineren und der gesamten Strecke wird. Es gilt somit AB : AT = AT : TB. Diese so entstandene Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke AB. Das Verhältnis der beiden Streckenabschnitte AT : TB wird als Goldene Zahl bezeichnet. Formel: a/b=(a+b)/a bzw. a/b=φ=1,618033989.
Der Goldene Schnitt als Teilungsverhältnis einer Strecke, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem Major dem Verhältnis des größeren zum Minor entspricht. Die Strecke AB der Länge s wird durch einen Punkt T innen so geteilt, dass die Länge a des größeren Teilabschnittes AT mittlere Proportionale zwischen den Längen b der kleineren und der gesamten Strecke wird. Es gilt somit AB : AT = AT : TB. Diese so entstandene Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke AB. Das Verhältnis der beiden Streckenabschnitte AT : TB wird als Goldene Zahl bezeichnet.

Die Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge steht in einem rechnerischen Zusammenhang, genauer formuliert in einem Grenzübergang zur Formel des Goldenen Schnitts, da dieser im Wesentlichen ja nichts anderes ist, als die Teilung einer Strecke in zwei Teile, wobei der größere sich zum kleineren verhält wie die ganze Strecke zum größeren Teil.
 
Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge von natürlichen Zahlen, die mit zweimal der Zahl 1 beginnt. Von der zweiten Stelle an ist also jedes Glied der Folge gleich der Summe der beiden vohergehenden. Die darin enthaltenen Zahlen werden als Fibonacci-Zahlen bezeichnet. Benannt ist die Folge nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (um 1170–1240), der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Wobei von Fibonacci der Zusammenhang zum erst später so genannten Goldenen Schnitt niemals hergestellt wurde. 4 )
 
Man kann die Fibonacci-Folge mit Hilfe des folgenden rekursiven Bildungsgesetzes und den Anfangswerten ƒ0 und ƒ1 berechnen: ƒ0=0 und ƒ1= 1. Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger: ƒn=ƒn−1+ƒn−2 für n≥2. Die ersten Fibonacci-Zahlen (ƒn) lauten:
 
n   0  1  2  3  4  5  6   7   8   9  10  11   12  13   14   15
-------------------------------------------------------------- ∞
ƒn  0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144 233  377  610
 
Je weiter man der Fibonacci-Folge folgt, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Zahlen dem Goldenen Schnitt (1,6180339887) an, beispielsweise die Verhältnisse 13:8 (=1,6250), 21:13 (=1,6154), 34:21 (=1,6190) oder 55:34 (=1,6176). Diese Annäherung ist alternierend, d. h. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt.
 

Philosophischer Kontext

Mit Beginn der italienischen Renaissance wird die »Göttliche Proportion« (lt. proportio divina) erstmals von europäischen Gelehrten in einen philosophischen und theologischen Kontext gestellt. Zu den prominentesten Gelehrten dieser Zeit zählte beispielsweise der italienischen Mathematiker und Franziskanerpater Luca Pacioli (um 1445–1514 oder 1517), der auch den italienischen Künstler und Universalgelehrten Leonardo da Vinci (1452–1519) in die Mathematik einführte. Die heute bekannteste Illustration da Vincis, der »Mensch im Quadrat und Kreis«, läßt den frühen Einfluß Paciolis erahnen, wobei da Vinci seinen »homo vitruvianus« (um 1490) erwiesenermaßen nicht auf Basis der Goldenen Schnitts zeichnete.
 
1509 schrieb Pacioli seine berühmte Abhandlung über die »Göttliche Proportion«, die auch von Leonardo da Vinci illustriert wurde und die europäische Geisteswissenschaften sowie viele Künstler beeinflusste, u.a. auch den deutschen Maler, Grafiker, Mathematiker und Kunsttheoretiker Albrecht Dürer (1471–1528). 5 )
 
Populär wurde der Begriff der »Göttlichen Proportion« allerdings erst ab dem späten 19. Jahrhundert durch den deutschen Gymnasiallehrer und späteren Autor Adolf Zeising (1810–1876). Der Themenschwerpunkt von Zeisings Wirken konzentrierte sich insbesondere auf die wahrnehmbare Schönheit und deren Gesetzmäßigkeiten und Harmonie in der Natur und Kunst. Sein Buch »Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers« (1854) machte ihn als Wegbereiter der Proportionregel vom Goldenen Schnitt bekannt. 6 ) Zeisig gilt als eine Zentralfigur, die den Mythos vom Goldenen Schnitt begründeten.
 

Mythos Goldener Schnitt

Rational betrachtet, ist der »Goldene Schnitt« – wie jedes andere mathematisches Teilungsverhältnis auch – nur ein Proportionsverhältnis, dass sowohl in der Natur (z.B. bei Pflanzen oder Säugetieren) als in der Kultur (z.B. in der Architektur oder Musik), in natürlicher bzw. in mehr oder weniger gewollter Weise vorkommt und evaluierbar ist. 

Zum Mythos – also zu einer sagenhaften Geschichte – wurde das Teilungsverhältnis erst, als deutsche Romantiker und Esoteriker im 19. Jahrhundert die Naturwissenschaften mit den Geisteswissenschaften auf einer philosophischer Ebene korrelierten. In diesem Falle verknüpften sie ein mathematisches Teilungsverhältnis mit der Schönheit der Natur, mit dem Dasein der Menschen als Teil der Schöpfung und mit der Welt der Götter bzw. mit einem männlichen, monotheistischen Gott.

Aus dem Teilungsverhältnis aus einer irrationalen, unendlichen Zahl – die Unendlichkeit kann sich ja nur einem höheren Wesen erschließen – wurde fortan eine Art göttlicher Bauplan, ein fundamentales Geheimnis des Universums, dessen Ästhetik Menschen in allen Kulturen intuitiv als die schönste aller Proportionen empfinden würden. Die ersten wahrnehmungspsychologischen Test, beispielsweise des deutschen Psychologen, Physikers und Naturphilosophen Gustav Theodor Fechner (1801–1887), befeuerten diese bizarren und abenteuerlichen Thesen. Sein Credo: Ein Quadrat gefällt den Menschen weit weniger als ein Rechteck, dessen Seiten im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.

Die »Nautilus Spirale« symbolisiert Phi (Φ) als natürliche Präsenz in der Natur. Allerdings fällt der Mythos von der »Goldenen Spirale« sehr schnell in sich zusammen, sobald ihre Form und Proportion mit natürlichen Spiralformen in der Natur verglichen werden. Diese »Schablone« ist zwar hübsch anzusehen, ist aber weder bei der Konstruktion noch beim Nachweis des Goldenen Schnitts von Nutzen.
Die »Nautilus Spirale« symbolisiert Phi (Φ) als natürliche Präsenz in der Natur. Allerdings fällt der Mythos von der »Goldenen Spirale« sehr schnell in sich zusammen, sobald ihre Form und Proportion mit natürlichen Spiralformen in der Natur verglichen werden. Diese »Schablone« ist zwar hübsch anzusehen, ist aber weder bei der Konstruktion noch beim Nachweis des Goldenen Schnitts von Nutzen.

Abgesehen davon, dass Esoteriker wie Adolf Zeising die Abhandlung Luca Paciolis fehlinterpretierten und ein esoterisches Dogma daraus machten, konnte bis heute wissenschaftlich nicht nachgewiesen werden, dass das Teilungsverhältnis 1:1,618 eine besondere ästhetische Wirkung auf die Menschen hat. Statistisch gesehen ist diese Annahme sogar inkorrekt. 7 )

Verwunderlich ist deshalb umso mehr, dass der Goldene Schnitt bis heute gerne von Architekten, Designern, Typographen, Grafikern, Malern, Bildhauern und Musikern als besonders harmonisches Proportionsverhältnis propagiert wird, obwohl der Mythos vom »Goldenen Schnitt« sehr schnell in sich zusammenfällt, sobald er mathematisch präzise nachgeprüft wird. Spätestens dann stellt sich nämlich heraus, das weder Gutenbergs Bibel, noch da Vincis »homo vitruvianus« oder das Apple Logo von Rob Janoff (Grafikdesigner, USA) nach dem Goldenen Schnitt konstruiert wurden.

Viele Lehrbücher, darunter auch die von Raúl Rosarivo und Jan Tschichold, propagieren die These, dass der Buchsatzspiegel der 42-zeiligen Gutenberg-Bibel (um 1455) nach dem Goldenen Schnitt konstruiert wurde. Misst man jedoch ein Original nach, stellt man sehr schnell fest, dass weder das Format im Goldenen Schnitt noch der Satzspiegel nach der Fibonacci-Reihe konstruiert wurde, sondern nach dem Villardschen Teilungskanon, einem geometrischen Teilungsverhältnis aus der ersten Hälfte des 13. Jahrhunderts, das nach Villard de Honnecourt (um 1230–1235) benannt wurde. Beispiel: Fibonacci-Gitter mit hinterlegter Doppelseite (35% Deckkraft) der Gutenberg Bibel aus der Staatsbibliothek zu Berlin.
Viele Lehrbücher, darunter auch die von Raúl Rosarivo und Jan Tschichold, propagieren die These, dass der Buchsatzspiegel der 42-zeiligen Gutenberg-Bibel (um 1455) nach dem Goldenen Schnitt konstruiert wurde. Misst man jedoch ein Original nach, stellt man sehr schnell fest, dass weder das Format im Goldenen Schnitt noch der Satzspiegel nach der Fibonacci-Reihe konstruiert wurde, sondern nach dem Villardschen Teilungskanon, einem geometrischen Teilungsverhältnis aus der ersten Hälfte des 13. Jahrhunderts, das nach Villard de Honnecourt (um 1230–1235) benannt wurde. Beispiel: Fibonacci-Gitter mit hinterlegter Doppelseite (35% Deckkraft) der Gutenberg Bibel aus der Staatsbibliothek zu Berlin. 

Der Goldene Schnitt in der Typographie und im Grafikdesign

In der Typographie existieren etliche Möglichkeiten, um Flächenformate, Größenverhältnisse oder Farbtonraster systematisch durch mathematische Teilungsverhältnisse bzw. Zahlenreihen zu proportionierten, zu gliedern oder zu vereinheitlichen. Bereits der Prototypograph Johannes Gutenberg (um 1400–1468) nutzte den Villardschen Teilungskanon als geometrisches Prinzip, um die bedruckten und unbedruckten Flächen, also den »Satzspiegel«, seiner 42-zeiligen Bibel (um 1455) zu proportionieren. 

Der Goldene Schnitt im Sinne des mathematisch Teilungsverhältnis 1:1,618 kann allerdings bei der grafischen Gestaltung von visuellen Kommunikationsmitteln streng genommen nur für die ästhetische Proportionierung einer in sich geschlossenen, zweidimensionalen Fläche, z.B. beim Beschnitt oder der Teilung eines rechteckigen Papierformats, angewendet werden.

Neben anderen geometrischen Methoden, z.B. den Renard-Serien des französischen Militäringenieurs Charles Renard (1847–1905), zählt heute sicherlich die Fibonacci-Zahlen aus der Fibonacci-Folge zu den populärsten Teilungsverhältnissen in der Typographie. 
 
Wird deshalb in der Typographie und im Grafikdesign vom Goldenen Schnitt (1:1,618) gesprochen, sind in der Regel die Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 usw. gemeint. Sie kommen dem Goldenen Schnitt alternierend sehr nahe und sind einfach zu ermitteln: Teilt man zwei benachbarte Zahlen mit dem kleineren Wert als Zähler durcheinander, nähert sich das Ergebnis zunehmend dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts an. Dadurch entstehen beispielsweise die Teilungsverhältnisse 13:8 (=1,6250), 21:13 (=1,6154), 34:21 (=1,6190) oder 55:34 (=1,6176).
 
Die rechnerischen Abweichungen hinter der Kommastelle sind in der Typographie irrelevant, da die unterschiedlichen Reproduktionsverfahren in der Regel höheren Toleranzen unterliegen, beispielsweise durch Papierdehnungen, buchbinderische Verarbeitungsdifferenzen oder durch die unterschiedlichen Darstellungsqualitäten von elektronischen Benutzeroberflächen. 8 )
 

Papierformate und der Goldenen Schnitt

In Deutschland werden nahezu ausschließlich Papierformate verarbeitet, die durch das Deutsche Institut für Normung e.V. (DIN) in der DIN-Norm 476 festgelegt wurden. In dieser DIN-Norm ist die Vorzugsreihe DIN A (beschnitten) sowie die Zusatzreihen DIN B (unbeschnittenes Format) und DIN C (Versandhüllen) festgelegt. 

Alle A-Formate haben ein Seitenverhältnis von der Seitenlänge zur Diagonallänge eines Quadrats, also ein Verhältnis 1 zu Wurzel aus 2, was einem Seitenverhältnis 1:1,414 (abgerundet) entspricht. Das Verhältnis Breite zu Höhe beträgt damit rund 5:7 und weicht damit deutlich von den Proportionen des Goldenen Schnitts 1:1,617 ab. 

Der Goldene Schnitt als Teilungsverhältnis einer Fläche, beispielsweise eines Papierformates. Das Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und a der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt immer in ein kleineres Rechteck und ein Quadrat teilen.
Der Goldene Schnitt als Teilungsverhältnis einer Fläche, beispielsweise eines Papierformates. Das Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und a der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt immer in ein kleineres Rechteck und ein Quadrat teilen.
Um aus einem DIN-Papierformat (linkes Beispiel) ein Seitenformat im »Goldenen Schnitt« (rechtes Beispiel) zu erhalten, muss ein DIN-Papierbogen immer mit Verlust beschnitten werden. Ob das so erhaltene Format im Teilungsverhältnis 1:1,618 dann letztendlich wirklich eine besondere ästhetische Wirkung auf die Menschen hat, konnte bis heute wissenschaftlich nicht nachgewiesen werden. Statistisch gesehen ist diese Annahme sogar inkorrekt.
Um aus einem DIN-Papierformat (linkes Beispiel) ein Seitenformat im »Goldenen Schnitt« (rechtes Beispiel) zu erhalten, muss ein DIN-Papierbogen immer mit Verlust beschnitten werden. Ob das so erhaltene Format im Teilungsverhältnis 1:1,618 dann letztendlich wirklich eine besondere ästhetische Wirkung auf die Menschen hat, konnte bis heute wissenschaftlich nicht nachgewiesen werden. Statistisch gesehen ist diese Annahme sogar inkorrekt.

Um ein Papierformat im Golden Schnitt zu erhalten, muss ein DIN-Papierbogen mit Verlust beschnitten werden. Der Goldenen Schnitt weicht von allen klassischen Buchformaten ab. 9 ) 

Gestaltungsraster nach der Fibonacci-Reihe

Gestaltungsraster werden im Grafikdesign und in der Typographie als ästhetische Ordnungssysteme verstanden, die überwiegend auf einem horizontalen und vertikalen Koordinatensystem basieren – mit der Zielsetzung, Schrift, Bild, Farbe, Fläche und zweidimensonalen Raum systematisch und zweckgerichtet zu strukturieren. 

Auf Basis der Fibonacci-Zahlen ist es möglich, Gestaltungsraster in unterschiedlichen Größen und Relationen zu konstruieren. Allerdings haben diese Flächenraster streng genommen wenig mit dem Goldenen Schnitt zu tun, sondern eher mit der Konstruktion eines simplen proportionalen Koordinatensystems, das auf einem Quadrat basiert, welches sich aus der Fibonacci-Reihe ergibt.

Wird der Goldene Schnitt in der Makrotypographie (z.B. bei der Konstruktion eines Seitenformats) und in der Schriftgestaltung (z.B. bei der Typometrie eines Buchstabens) verwendet, wird nahezu ausschließlich mit Proportionsverhältnissen gearbeitet, die sich aus der Fibonacci-Folge ergeben. Ein gerne genutztes Proportionsverhältnis für die Konstruktion von Papierformaten und Gestaltungsrastern ist beispielsweise das Verhältnis 8:13. Alle Proportionsverhältnisse können sowohl horizontal als auch vertikal implementiert werden.
Wird der Goldene Schnitt in der Makrotypographie (z.B. bei der Konstruktion eines Seitenformats) und in der Schriftgestaltung (z.B. bei der Typometrie eines Buchstabens) verwendet, wird nahezu ausschließlich mit Proportionsverhältnissen gearbeitet, die sich aus der Fibonacci-Folge ergeben. Ein gerne genutztes Proportionsverhältnis für die Konstruktion von Papierformaten und Gestaltungsrastern ist beispielsweise das Verhältnis 8:13. Alle Proportionsverhältnisse können sowohl horizontal als auch vertikal implementiert werden.
Auf Basis der Fibonacci-Zahlen, hier z.B. im Teilungsverhältnis 8:13, kann auch ein sehr schlichter Zellenraster abgeleitet werden, der allerdings nicht den Anforderungen moderner Layouts und DTP Desktop Publishing Software gerecht wird.
Auf Basis der Fibonacci-Zahlen, hier z.B. im Teilungsverhältnis 8:13, kann auch ein sehr schlichter Zellenraster abgeleitet werden, der allerdings nicht den Anforderungen moderner Layouts und DTP Desktop Publishing Software gerecht wird.

Buchsatzspiegel nach der Fibonacci-Reihe

Bei einem Buch wird der Gestaltungsraster als Buchsatzspiegel bezeichnet. Er beschreibt die bedruckten (z.B. Kolumnen und Bildflächen) und die unbedruckten Flächen (z.B. Kopfsteg, Bundsteg, Außensteg und Fußsteg) einer Buchdoppelseite. Des Weiteren definiert er das Register (z.B. Zeilenabstand und Satzbreite) sowie die bedruckten Flächen außerhalb des Registers (z.B. Kolumnentitel und Pagina).

Die Konstruktion von »Kodexregistern«, einer Archeform des Buchsatzspiegels, gehörte bereits seit dem 1. Jahrhundert zum Standardrepertoire eines Kalligraphen oder Kopisten. Die »Villardsche Figur», ein auch heute noch verwendeter Teilungskanon für einen Buchsatzspiegel, stammt beispielsweise aus der ersten Hälfte des 13. Jahrhunderts.

Seit der Inkunabelzeit (1450–1500) werden Buchsatzspiegel auch aus Zellenrastern konstruiert, die sich auch aus den Fibonacci-Zahlen ableiten können. So entstehen proportionale Zellenraster mit quadratischen Flächeneinheiten, die als schematisches Ordnungssystem dienen, um die bedruckten und unbedruckten Flächen einer Buchdoppelseite ästhetisch zu gliedern. 

Mathematisch gesehen hat allerdings die Interpretation der Fibonacci-Folge für die Konstruktion eines Buchsatzspiegels wenig mit der dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts (1:1,618) zu tun, sondern eher mit einem einfachen, symmetrischen und proportionalen Koordinatensystem, dessen kleinste quadratische Flächeneinheit einer Zahl der Fibonacci-Reihe entspricht und deren Nutzung sich systematisch an der Zahlenreihe orientiert.

Aus den Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 (...) kann beispielsweise ein Seitenformat im Goldenen Schnitt (1:1,618) bestehend aus 21 x 34 Quadraten und ein Satzspiegel mit einem Bundsteg von 3 Quadraten, einem Kopf- und Seitensteg aus 5 Quadraten und einer Kolumne aus 13 x 21 Quadraten abgeleitet werden.
Aus den Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 (…) kann beispielsweise ein Seitenformat im Goldenen Schnitt (1:1,618) bestehend aus 21 x 34 Quadraten und ein Satzspiegel mit einem Bundsteg von 3 Quadraten, einem Kopf- und Seitensteg aus 5 Quadraten und einer Kolumne aus 13 x 21 Quadraten abgeleitet werden.

Über die Konstruktion von Satzspiegeln existieren seit Jahrhunderten in Bezug auf Aufbau, Technik, Wirtschaftlichkeit, Psychologie, Kultur und Ästhetik unterschiedliche Betrachtungsweisen.

Konstruktion eines Satzspiegels nach Fibonacci

Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 1: Bestimmung eines Seitenformats im Verhältnis 1:1,618. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.
Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 1: Bestimmung eines Seitenformats im Verhältnis 1:1,618. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.
Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 2: Ableitung des Proportionsverhältnisses aus dem Major in immer kleiner werdende Quadrate. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.
Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 2: Ableitung des Proportionsverhältnisses aus dem Major in immer kleiner werdende Quadrate. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.
Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 3: Auf Basis des gewählten Quadrats, wird ein Zellenraster aus den Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 (…) abgeleitet, in diesem Falle im Teilungsverhältnis 21:34. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.
Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 3: Auf Basis des gewählten Quadrats, wird ein Zellenraster aus den Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 (…) abgeleitet, in diesem Falle im Teilungsverhältnis 21:34. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.
Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 4: Fertiger Satzspiegel im Teilungsverhältnis 21:34. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.
Beispiel eines Seitenformats im Goldenen Schnitt (1:1,618) und Konstruktion eines Satzspiegels nach der Fibonacci-Reihe. Schritt 4: Fertiger Satzspiegel im Teilungsverhältnis 21:34. Entwurf: Wolfgang Beinert, Berlin.

Goldener Schnitt versus Villardscher Teilungskanon 

Erfahrungsgemäß wird der Villardsche Teilungskanon in der typographischen Literatur und Lehre oft fälschlicher Weise mit dem »Goldenen Schnitt« bzw. mit der Zahlenreihe des Mathematikers Leonardo Fibonacci (1170–1240) gleichgesetzt. Dies sind jedoch zwei völlig unterschiedliche mathematische Methoden, um Flächen zu teilen, auch wenn das Ergebnis auf den ersten Blick verblüffend ähnlich ist.

In diesem Beispiel wird ein aus den Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 (...) abgeleitetes Seitenformat im Goldenen Schnitt (1:1,618), bestehend aus 21 x 34 Quadraten nebst Satzspiegel in Anlehnung an die Fibonacci-Folge mit einem Bundsteg von 3 Quadraten, einem Kopf- und Seitensteg aus 5 Quadraten, einem Fußsteg aus 8 Quadraten und einer Kolumne aus 13 x 21 Quadraten mit dem Villardschen Teilungskanon verglichen. Der Satzspiegel nach Villard (Koordinaten +) und der Satzspiegel nach der Fibonacci-Reihe weichen spürbar voneinander ab.
In diesem Beispiel wird ein aus den Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 (…) abgeleitetes Seitenformat im Goldenen Schnitt (1:1,618), bestehend aus 21 x 34 Quadraten nebst Satzspiegel in Anlehnung an die Fibonacci-Folge mit einem Bundsteg von 3 Quadraten, einem Kopf- und Seitensteg aus 5 Quadraten, einem Fußsteg aus 8 Quadraten und einer Kolumne aus 13 x 21 Quadraten mit dem Villardschen Teilungskanon verglichen. Der Satzspiegel nach Villard (Koordinaten +) und der Satzspiegel nach der Fibonacci-Reihe weichen spürbar voneinander ab.

Der Fbonacci-Rhytmus im Corporate Design

Corporate Design umschreibt die einheitliche visuelle Darstellung eines Unternehmens oder einer Organisation in den Segmenten Kommunikation- und Grafikdesign, Industriedesign, Architektur und Werbung.

Das Corporate Design der Siemens AG. Es bezieht sich sowohl im grafischen Gestaltungsraster als auch bei den Sättigungsstufen der Farben auf den Goldenen Schnitt bzw. auf den Fibonacci-Rhytmus. Bildzitat und Quelle: Siemens AG, München, Styleguide 2002 Seite 18 und 19. Design: Baumann & Baumann, Büro für Gestaltung, Schwäbisch Gmünd.
Das Corporate Design der Siemens AG. Es bezieht sich sowohl im grafischen Gestaltungsraster als auch bei den Sättigungsstufen der Farben auf den Goldenen Schnitt bzw. auf den Fibonacci-Rhytmus. Bildzitat und Quelle: Siemens AG, München, Styleguide 2002 Seite 18 und 19. Design: Baumann & Baumann, Büro für Gestaltung, Schwäbisch Gmünd.

Prominente Beispiele von Corporate Designs, die auf dem Goldenen Schnitt bzw. auf den Fibonacci-Zahlen basieren, sind die visuellen Erscheinungsbilder der Max-Planck-Gesellschaft (Richtlinien zur Gestaltung, 4. überarbeitete Auflage, 2008), der Deutschen Forschungsgemeinschaft (Styleguide 2009) oder der Siemens AG (Styleguide 2002). Der Goldene Schnitt bzw. die Fibonacci-Zahlen werden in diesen Corporate Designs u.a. dafür verwendet, um Flächen von Prospektseiten oder die Motive von Werbeanzeigen zu proportionieren.

Der Mythos Goldener Schnitt in der Schriftgestaltung

Insbesondere im Segment der Schriftgestaltung (Type Design) zirkulieren unzählige Thesen und Behauptungen, die den Mythos des Goldenen Schnitts mehren und nutzen. So wird beispielsweise in der typographischen Literatur und Lehre immer wieder behauptet, die Capitalis Monumentalis auf der römischen Trajanssäule wäre ein Archetype, die nach dem Goldenen Schnitt gestaltet wurde. Oder, der legendäre schweizer Typograph, Schriftschneider und Drucker Jean Jannon (1580–1658) hätte seine »Caractères de L’Université« – basierend auf seiner »Petite Sedanaise« aus dem Jahr 1621 – ebenfalls mit Hilfe der »divina proportio« geschnitten.

In der typographischen Literatur kursiert immer noch der Mythos, dass das berühmteste und schönste Beispiel der Capitalis Monumentalis, das Trajanische Alphabet (113 n.Chr.), nach dem Goldenen Schnitt konstruiert wurde. Schriftsachverständige gehen aber davon aus, dass sowohl der Sockel der Trajansäule, die Säule selbst als auch die Majuskeln nach dem Reihenfolgenprinzip des Archimedes »Kegel, Kugel, Zylinder« im Verhältnis 1:2:3 (Zylinder vom Radius r und der Höhe 2 r, einer Kugel vom Radius r und eines geraden Kegels vom Radius r und der Höhe 2 r) konstruiert wurden. Auf das Zweidimensionale bezogen, entspricht das nicht dem Goldenen Schnitt, sondern Quadrat, Kreis und Dreieck, also den Grundformen unseres lateinischen Alphabets. Im Beispiel (links) wird das anhand der »Trajan Pro« von Adobe und dem Fibonacci-Gitter deutlich.
In der typographischen Literatur kursiert immer noch der Mythos, dass das berühmteste und schönste Beispiel der Capitalis Monumentalis, das Trajanische Alphabet (113 n.Chr.), nach dem Goldenen Schnitt konstruiert wurde. Schriftsachverständige gehen aber davon aus, dass sowohl der Sockel der Trajansäule, die Säule selbst als auch die Majuskeln nach dem Reihenfolgenprinzip des Archimedes »Kegel, Kugel, Zylinder« im Verhältnis 1:2:3 (Zylinder vom Radius r und der Höhe 2 r, einer Kugel vom Radius r und eines geraden Kegels vom Radius r und der Höhe 2 r) konstruiert wurden. Auf das Zweidimensionale bezogen, entspricht das nicht dem Goldenen Schnitt, sondern Quadrat, Kreis und Dreieck, also den Grundformen unseres lateinischen Alphabets. Im Beispiel (links) wird das anhand der »Trajan Pro« von Adobe und dem Fibonacci-Gitter deutlich.

Auch zeitgenössische Schriftgestalter wie die Deutschen Kurt Weidemann (1922–2011) und Erik Spiekermann (* 1947), der US-Amerikaner Chad Lindemann oder der Schweizer Adrian Frutiger (1928–2015) beziehen sich bei ihren Schriftentwürfen gerne auf den Goldenen Schnitt bzw. auf die Fibonacci-Reihe. 

Der Goldene Schnitt wird gerne von Schriftgestaltern als Proportionsverhältnis für die Typometrie ihrer Schriften als verkaufsförderndes Argument herangezogen. Beispielsweise von Kurt Weidemann (1922–2011) für seine Schriftsippe Corporate ASE, die er für die Daimler Benz AG in Stuttgart entwickelte. Er stellte den fantasiereichen Kontext her, dass er die Letternarchitektur vom Goldenen Schnitt altgriechischer Tempel abgeleitet habe und dass alle Schriftschnitte in den goldenen Fibonacci-Proportionen konstruiert wurden. Eine nette Geschichte, die aber mit dem mathematischen Teilungsverhältnis 1:1,618 wenig zu tun hat. Quelle: Die Bildzitate stammen aus dem Verkaufsprospekt »Corporate ASE, Eine Schrift-Trilogie im klassischen Kanon für den Einsatz in den elektronischen Medien und für die Ansprüche einer ›coproate culutre‹, von Kurt Weidemann, vermutlich um 1990/1991.
Der Goldene Schnitt wird gerne von Schriftgestaltern als Proportionsverhältnis für die Typometrie ihrer Schriften als verkaufsförderndes Argument herangezogen. Beispielsweise von Kurt Weidemann (1922–2011) für seine Schriftsippe Corporate ASE, die er für die Daimler Benz AG in Stuttgart entwickelte. Er stellte den fantasiereichen Kontext her, dass er die Letternarchitektur vom Goldenen Schnitt altgriechischer Tempel abgeleitet habe und dass alle Schriftschnitte in den goldenen Fibonacci-Proportionen konstruiert wurden. Eine nette Geschichte, die aber mit dem mathematischen Teilungsverhältnis 1:1,618 wenig zu tun hat. Quelle: Die Bildzitate stammen aus dem Verkaufsprospekt »Corporate ASE, Eine Schrift-Trilogie im klassischen Kanon für den Einsatz in den elektronischen Medien und für die Ansprüche einer ›coproate culutre‹, von Kurt Weidemann, vermutlich um 1990/1991.
Nomen est omen?: Die »Phi« Roman (oben) und Bold (unten) des niederländischen Type Designers Cas van de Goor. Sein Statement: »Phi is a (monoline) geometric all caps typeface designed on the basis of the golden ratio.« Misst man die Typometrie der Buchstaben allerdings mathematisch nach, fällt es sehr schwer, die Letternarchitektur mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung zu bringen. Selbst das Fibonacci-Gitter als Schablone ist in diesem Falle nicht sehr hilfreich.
Nomen est omen?: Die »Phi« Roman (oben) und Bold (unten) des niederländischen Type Designers Cas van de Goor. Sein Statement: »Phi is a (monoline) geometric all caps typeface designed on the basis of the golden ratio.« Misst man die Typometrie der Buchstaben allerdings mathematisch nach, fällt es sehr schwer, die Letternarchitektur mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung zu bringen. Selbst das Fibonacci-Gitter als Schablone ist in diesem Falle nicht sehr hilfreich.

Streng genommen – also mathematisch evaluiert – stimmen diese Aussagen alle nicht. Mit etwas laissez faire aber, kann man sie durchaus als »Nicht-Mathematiker« mit einem gewissen Augenzwinkern als nette Imagination tolerieren. 

Fakt ist jedoch, dass die Typometrie unserer lateinischen Buchstaben im Wesentlichen aus Geraden und Rundungen sowie den Grundformen Quadrat, Dreieck und Kreis besteht. Daran hat sich bis heute nichts geändert.

Typometrische Studien aus der Zeit der Renaissance von Ferdinando Ruano (D), Vespasiano Amphiareo (Z), Wolfgang Fugger (H), Geoffroy Tory (I), Albrecht Dürer (X), Francesco Torniello da Novara (F), Luca Pacioli (Y), Damiano da Moile (B) und Felice Feliciano (P). Abbildungen: Unterschiedliche Quellen aus der klassischen typographischen und paläographischen Fachliteratur.
Typometrische Studien aus der Zeit der Renaissance von Ferdinando Ruano (D), Vespasiano Amphiareo (Z), Wolfgang Fugger (H), Geoffroy Tory (I), Albrecht Dürer (X), Francesco Torniello da Novara (F), Luca Pacioli (Y), Damiano da Moile (B) und Felice Feliciano (P). Abbildungen: Unterschiedliche Quellen aus der klassischen typographischen und paläographischen Fachliteratur.

Die Fibonacci-Reihe im Webdesign

Auch bei der Gestaltung von Websites ist es möglich, sich mittels CSS Cascading Style Sheets 10 ) auf die Fibonacci-Zahlen zu beziehen. So können beispielsweise Schriftgrade, Spatenbreiten, Zeilenabstände etc. systematisch aufeinander abgestimmt werden. 11 )

Im Internet findet man zahlreiche Tools, um Schriftgrade, Spatenbreiten, Zeilenabstände etc. für Websites systematisch zu kalibrieren. Um Schriftgrade u.a. im Goldenen Schnitt aufeinander abzustimmen, ist beispielsweise die »Modular Scale« von Scott Kellum und Tim Brown hilfreich. Bildzitat und Quelle: www.modularscale.com.
Im Internet findet man zahlreiche Tools, um Schriftgrade, Spatenbreiten, Zeilenabstände etc. für Websites systematisch zu kalibrieren. Um Schriftgrade u.a. im Goldenen Schnitt aufeinander abzustimmen, ist beispielsweise die »Modular Scale« von Scott Kellum und Tim Brown hilfreich. Bildzitat und Quelle: www.modularscale.com.

Die Fibonacci-Folge in der Farbabstimmung

Lehrsätze zur Anwendung von Druckfarben, die sich auf die Fibonacci-Folge bezogen, waren bis zum Ende des Buchdrucks mit beweglichen Bleitypen fast jedem Buchdrucker geläufig. 12 )

Heute ist es mit jeder professionellen Desktop Publishing Software (DTP) möglich, z. B. mit InDesign® von Adobe® oder QuarkXpress® von Quark®, sowohl im digitalen RGB-Farbraum (Rot, Grün und Blau) als auch bei Echt- und CMYK-Skalendruckfarben (Cyan, Magenta, Yellow und Key) die Konsistenz, Deckkraft und Tonraster nach den Fibonacci-Zahlen systematisch nach Sättigungsgraden abzustufen.

Die Deckkraft der RGB-Farben Rot und Blau abgestuft nach den Fibonacci-Zahlenfolge 55, 34, 21 und 13.
Die Deckkraft der RGB-Farben Rot und Blau abgestuft nach den Fibonacci-Zahlenfolge 55, 34, 21 und 13.

Theorien, die einen direkten Zusammenhang der prismatischen Farben, der Grundfarben und der Komplementärfarben im Farbenraum mit dem Goldenen Schnitt erklären und daraus eine Farbenlehre ableiten, sind allerdings wissenschaftlich sehr umstritten. 13 ) 

© Wolfgang Beinert, www.typolexikon.de

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Quellen / Literatur / Anmerkungen / Informationen / Tipps:   [ + ]

1.↑Anmerkung: »Euklids Elemente« existieren heute allerdings nur noch in handschriftlichen Überlieferungen, nicht im Original. Die älteste stammt vermutlich aus dem Byzantinischen Reich (ca. 395–1453) des Jahres 888 und wird heute in der Bodleian Library der Universität Oxford in England aufbewahrt.
2.↑Quelle: Ohm, Martin: Die Reine Elementar-Mathematik, zum Gebrauche an höhern technischen Lehr-Anstalten, Zweiter Band, Zweite Auflage, Seite 194. Jonas Verlags-Buchhandlung Berlin, 1835. Digitalisiert von Google Books, online verfügbar unter https://books.google.de/books?id=KS3yAAAAMAAJ&hl=de&pg=PR3#v=onepage&q&f=false (29.3.2016).
3.↑Literaturempfehlung: Göttlich Golden Genial. Weltformel Goldener Schnitt? Eine Publikation der Museumsstiftung Post und Telekommunikation, Hirmer Verlag, München, 2016, ISBN 978-3-7774-2689-1.
4.↑Quelle: Fibonacci, Leonardo: Liber abbaci di Leonardo Pisano, pubblicato secondo la lezione del Codice Magliabechiano, cs cI 2616, fol. 124r., Badia Fiorentina, n. 73 da Baldassarre Boncompagni, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, Italien.
5.↑Quelle: Winterberg, Constantin: Divina Proportione. Die Lehre vom Goldenen Schnitt – Nach der venezianischen Ausgabe vom Jahre 1509, Universitätsbibliothek Innsbruck; Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 1888, AC00202590 UBI-HB 204347. Die digitale Version steht unter http://www.literature.at/viewer.alo?objid=16478&page=1&viewmode=fullscreen zur Verfügung (29.3.2015).
6.↑Quelle: Zeising, Adolf: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze Natur und Kunst durchdringenden morphologischen Grundgesetze entwickelt und mit einer vollständigen historischen Uebersicht der bisherigen Systeme begleitet,  Weigel Verlag, Leipzig, 1854. Signatur: 8213521 Anthr. 154 8213521 Anthr. 154, Digitale Bibliothek/Bavarica der Bayerische Staatsbibliothek, München. Online Verfügbar unter http://reader.digitale-sammlungen.de/resolve/display/bsb10255661.html
7.↑Anmerkung: Durchgängig ergeben wissenschaftliche Untersuchungen zur Differenzierung der Präferenz für Proportionen, dass der Goldene Schnitt von der deutlichen Mehrheit der Probanden nicht bevorzugt wird. Dies gilt sowohl für die Beurteilung von schlichten geometrischen Formen bis hin zu der Frage, welche Proportionen nötig sind, um ein Gesicht als schön zu empfinden.
8.↑Literaturempfehlung: Roberts, Lucienne (Hrsg.), Rebecca Wright (Hrsg.) und Bellos Alex (Hrsg.): Golden Meaning – Fifty Five Graphic Experiments: 1: 1.618, GD& GraphicDesign, 2014, ISBN-10: 0957238118 und ISBN-13: 978-0957238114.
9.↑Anmerkung. Die oft zitierte Annahme, dass das Octavo-Buchformat auf dem Goldenen Schnitt beruht, ist inkorrekt.
10.↑Anmerkung: CSS Cascading Style Sheets ist ein weltweiter Standard des W3C (World Wide Web Consortium).
11.↑Literaturempfehlung: Brown, Tim: More Meaningful Typography, 2011. Online verfügbar unter http://alistapart.com/article/more-meaningful-typography (1.4.2016).
12.↑Literaturempfehlung: Engel-Hardt, Rudolf: Der Goldene Schnitt im Buchgewerbe. Ein Regelwerk für Buchdrucker und Buchgewerbler, Verlag von Julius Mäser, Leipzig-Reudnitz, 1919.
13.↑Literaturempfelung: Wülfing, Ferdinand: Die Farben und der goldene Schnitt, Pagina Verlag, 2015. ISBN-10: 3944146670.