Bezeichnung für ein mathematisches Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderer Größen, dessen Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (Major) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (Minor) entspricht; irrationale Proportion von Breite zu Höhe im Verhältnis 1:1,618 (gerundet). Etymologisch von lt. »sectio aurea« für »Goldener Schnitt«; Synonym »Goldenes Verhältnis«; bis zum Ende des 19. Jahrhundert auch als »Göttliche Proportion« (lt. proportio divina) bezeichnet.
Ursprung
Die erste überlieferte Abhandlung des mathematische Teilungsverhältnis 1:1,618 findet sich im zweiten Buch der Elemente über geometrische Algebra (Pythagoreer) des griechischen Mathematikers Euklid von Alexandria (um 300 v. Chr.), der die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit dokumentierte. 1) Mathematiker und Historiker sind sich aber mehr oder weniger einig, dass dieses Teilungsverhältnis bereits vor Euklid Gelehrten aus Mesopotamien, Indien und China bekannt gewesen sein dürfte.
Euklids Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde in der mathematischen Literatur zunächst als »proportio habens medium et duo extrema« bezeichnet, was ins Deutsche mit »Teilung im inneren und äußeren Verhältnis« übersetzt werden könnte.
Unter Experten scheint Konsens darüber zu bestehen, dass erstmals die Bezeichnung »Goldener Schnitt« 1835 vom deutschen Mathematiker Martin Ohm (1792–1872) in seinem in Fraktur gesetzten Lehrbuch »Die Reine Elementar-Mathematik« in einer Fußnote zu einem Lehrsatz schriftlich dokumentiert wurde. Wobei die Formulierung »goldenen Schnitt« im Sperrsatz abgesetzt ist: 2)
»Dieße Zertheilung einer beliebigen Linie r in 2 solche Theile, nennt man wohl auch den goldenen Schnitt; auch fragt man in dießem Falle zuweilen: die Linie r werde in stetige Proportion getheilt.«
Ohms Formulierung legt nahe, dass die Begrifflichkeit »Goldener Schnitt« möglicherweise bereits (mündlich) existierte. Auch die Bezeichnung »sectio aurea« soll erst Mitte des 19. Jahrhunderts entstanden sein. 3)
Mathematische Definition
Der Goldene Schnitt bezieht sich auf folgende mathematischer Formel:
a + b a
--------- = -----
a bEine einfache Rechnung ergibt dann für dieses Teilungsverhältnis, wobei Phi (Φ) eine irrationale Zahl ist, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt:
a 1 + √5
Φ = ----- = ----------- ≈ 1,6180339887
b 2
Dieses Teilungsverhältnis läßt sich in folgendes Diagramm umsetzen:
Die Fibonacci-Folge
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -------------------------------------------------------------- ∞ ƒn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
Je weiter man der Fibonacci-Folge folgt, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Zahlen dem Goldenen Schnitt (1,6180339887) an, beispielsweise die Verhältnisse 13:8 (=1,6250), 21:13 (=1,6154), 34:21 (=1,6190) oder 55:34 (=1,6176). Diese Annäherung ist alternierend, d. h. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt.
Philosophischer Kontext
Mit Beginn der italienischen Renaissance wird die »Göttliche Proportion« (lt. proportio divina) erstmals von europäischen Gelehrten in einen philosophischen und theologischen Kontext gestellt. Zu den prominentesten Gelehrten dieser Zeit zählte beispielsweise der italienischen Mathematiker und Franziskanerpater Luca Pacioli (um 1445–1514 oder 1517), der auch den italienischen Künstler und Universalgelehrten Leonardo da Vinci (1452–1519) in die Mathematik einführte. Die heute bekannteste Illustration da Vincis, der »Mensch im Quadrat und Kreis«, läßt den frühen Einfluß Paciolis erahnen, wobei da Vinci seinen »homo vitruvianus« (um 1490) erwiesenermaßen nicht auf Basis der Goldenen Schnitts zeichnete.
Populär wurde der Begriff der »Göttlichen Proportion« allerdings erst ab dem späten 19. Jahrhundert durch den deutschen Gymnasiallehrer und späteren Autor Adolf Zeising (1810–1876). Der Themenschwerpunkt von Zeisings Wirken konzentrierte sich insbesondere auf die wahrnehmbare Schönheit und deren Gesetzmäßigkeiten und Harmonie in der Natur und Kunst. Sein Buch »Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers« (1854) machte ihn als Wegbereiter der Proportionregel vom Goldenen Schnitt bekannt. 6) Zeisig gilt als eine Zentralfigur, die den Mythos vom Goldenen Schnitt begründeten.
Mythos Goldener Schnitt
Rational betrachtet, ist der »Goldene Schnitt« – wie jedes andere mathematisches Teilungsverhältnis auch – nur ein Proportionsverhältnis, dass sowohl in der Natur (z.B. bei Pflanzen oder Säugetieren) als in der Kultur (z.B. in der Architektur oder Musik), in natürlicher bzw. in mehr oder weniger gewollter Weise vorkommt und evaluierbar ist.
Zum Mythos – also zu einer sagenhaften Geschichte – wurde das Teilungsverhältnis erst, als deutsche Romantiker und Esoteriker im 19. Jahrhundert die Naturwissenschaften mit den Geisteswissenschaften auf einer philosophischer Ebene korrelierten. In diesem Falle verknüpften sie ein mathematisches Teilungsverhältnis mit der Schönheit der Natur, mit dem Dasein der Menschen als Teil der Schöpfung und mit der Welt der Götter bzw. mit einem männlichen, monotheistischen Gott.
Aus dem Teilungsverhältnis aus einer irrationalen, unendlichen Zahl – die Unendlichkeit kann sich ja nur einem höheren Wesen erschließen – wurde fortan eine Art göttlicher Bauplan, ein fundamentales Geheimnis des Universums, dessen Ästhetik Menschen in allen Kulturen intuitiv als die schönste aller Proportionen empfinden würden. Die ersten wahrnehmungspsychologischen Test, beispielsweise des deutschen Psychologen, Physikers und Naturphilosophen Gustav Theodor Fechner (1801–1887), befeuerten diese bizarren und abenteuerlichen Thesen. Sein Credo: Ein Quadrat gefällt den Menschen weit weniger als ein Rechteck, dessen Seiten im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.
Abgesehen davon, dass Esoteriker wie Adolf Zeising die Abhandlung Luca Paciolis fehlinterpretierten und ein esoterisches Dogma daraus machten, konnte bis heute wissenschaftlich nicht nachgewiesen werden, dass das Teilungsverhältnis 1:1,618 eine besondere ästhetische Wirkung auf die Menschen hat. Statistisch gesehen ist diese Annahme sogar inkorrekt. 7)
Verwunderlich ist deshalb umso mehr, dass der Goldene Schnitt bis heute gerne von Architekten, Designern, Typografen, Grafikern, Malern, Bildhauern und Musikern als besonders harmonisches Proportionsverhältnis propagiert wird, obwohl der Mythos vom »Goldenen Schnitt« sehr schnell in sich zusammenfällt, sobald er mathematisch präzise nachgeprüft wird. Spätestens dann stellt sich nämlich heraus, das weder Gutenbergs Bibel, noch da Vincis »homo vitruvianus« oder das Apple Logo von Rob Janoff (Grafikdesigner, USA) nach dem Goldenen Schnitt konstruiert wurden.
Der Goldene Schnitt in der Typografie und im Grafikdesign
In der Typografie existieren etliche Möglichkeiten, um Flächenformate, Größenverhältnisse oder Farbtonraster systematisch durch mathematische Teilungsverhältnisse bzw. Zahlenreihen zu proportionierten, zu gliedern oder zu vereinheitlichen. Bereits der Prototypograf Johannes Gutenberg (um 1400–1468) nutzte den Villardschen Teilungskanon als geometrisches Prinzip, um die bedruckten und unbedruckten Flächen, also den »Satzspiegel«, seiner 42-zeiligen Bibel (um 1455) zu proportionieren.
Der Goldene Schnitt im Sinne des mathematisch Teilungsverhältnis 1:1,618 kann allerdings bei der grafischen Gestaltung von visuellen Kommunikationsmitteln streng genommen nur für die ästhetische Proportionierung einer in sich geschlossenen, zweidimensionalen Fläche, z.B. beim Beschnitt oder der Teilung eines rechteckigen Papierformats, angewendet werden.
Die rechnerischen Abweichungen hinter der Kommastelle sind in der Typografie irrelevant, da die unterschiedlichen Reproduktionsverfahren in der Regel höheren Toleranzen unterliegen, beispielsweise durch Papierdehnungen, buchbinderische Verarbeitungsdifferenzen oder durch die unterschiedlichen Darstellungsqualitäten von elektronischen Benutzeroberflächen. 8)
Papierformate und der Goldenen Schnitt
In Deutschland werden nahezu ausschließlich Papierformate verarbeitet, die durch das Deutsche Institut für Normung e.V. (DIN) in der DIN-Norm 476 festgelegt wurden. In dieser DIN-Norm ist die Vorzugsreihe DIN A (beschnitten) sowie die Zusatzreihen DIN B (unbeschnittenes Format) und DIN C (Versandhüllen) festgelegt.
Alle A-Formate haben ein Seitenverhältnis von der Seitenlänge zur Diagonallänge eines Quadrats, also ein Verhältnis 1 zu Wurzel aus 2, was einem Seitenverhältnis 1:1,414 (abgerundet) entspricht. Das Verhältnis Breite zu Höhe beträgt damit rund 5:7 und weicht damit deutlich von den Proportionen des Goldenen Schnitts 1:1,617 ab.
Um ein Papierformat im Golden Schnitt zu erhalten, muss ein DIN-Papierbogen mit Verlust beschnitten werden. Der Goldenen Schnitt weicht von allen klassischen Buchformaten ab. 9)
Gestaltungsraster nach der Fibonacci-Reihe
Gestaltungsraster werden im Grafikdesign und in der Typografie als ästhetische Ordnungssysteme verstanden, die überwiegend auf einem horizontalen und vertikalen Koordinatensystem basieren – mit der Zielsetzung, Schrift, Bild, Farbe, Fläche und zweidimensonalen Raum systematisch und zweckgerichtet zu strukturieren.
Auf Basis der Fibonacci-Zahlen ist es möglich, Gestaltungsraster in unterschiedlichen Größen und Relationen zu konstruieren. Allerdings haben diese Flächenraster streng genommen wenig mit dem Goldenen Schnitt zu tun, sondern eher mit der Konstruktion eines simplen proportionalen Koordinatensystems, das auf einem Quadrat basiert, welches sich aus der Fibonacci-Reihe ergibt.
Buchsatzspiegel nach der Fibonacci-Reihe
Bei einem Buch wird der Gestaltungsraster als Buchsatzspiegel bezeichnet. Er beschreibt die bedruckten (z.B. Kolumnen und Bildflächen) und die unbedruckten Flächen (z.B. Kopfsteg, Bundsteg, Außensteg und Fußsteg) einer Buchdoppelseite. Des Weiteren definiert er das Register (z.B. Zeilenabstand und Satzbreite) sowie die bedruckten Flächen außerhalb des Registers (z.B. Kolumnentitel und Pagina).
Die Konstruktion von »Kodexregistern«, einer Archeform des Buchsatzspiegels, gehörte bereits seit dem 1. Jahrhundert zum Standardrepertoire eines Kalligraphen oder Kopisten. Die »Villardsche Figur», ein auch heute noch verwendeter Teilungskanon für einen Buchsatzspiegel, stammt beispielsweise aus der ersten Hälfte des 13. Jahrhunderts.
Seit der Inkunabelzeit (1450–1500) werden Buchsatzspiegel auch aus Zellenrastern konstruiert, die sich auch aus den Fibonacci-Zahlen ableiten können. So entstehen proportionale Zellenraster mit quadratischen Flächeneinheiten, die als schematisches Ordnungssystem dienen, um die bedruckten und unbedruckten Flächen einer Buchdoppelseite ästhetisch zu gliedern.
Mathematisch gesehen hat allerdings die Interpretation der Fibonacci-Folge für die Konstruktion eines Buchsatzspiegels wenig mit der dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts (1:1,618) zu tun, sondern eher mit einem einfachen, symmetrischen und proportionalen Koordinatensystem, dessen kleinste quadratische Flächeneinheit einer Zahl der Fibonacci-Reihe entspricht und deren Nutzung sich systematisch an der Zahlenreihe orientiert.
Über die Konstruktion von Satzspiegeln existieren seit Jahrhunderten in Bezug auf Aufbau, Technik, Wirtschaftlichkeit, Psychologie, Kultur und Ästhetik unterschiedliche Betrachtungsweisen.
Konstruktion eines Satzspiegels nach Fibonacci
Goldener Schnitt versus Villardscher Teilungskanon
Erfahrungsgemäß wird der Villardsche Teilungskanon in der typografischen Literatur und Lehre oft fälschlicher Weise mit dem »Goldenen Schnitt« bzw. mit der Zahlenreihe des Mathematikers Leonardo Fibonacci (1170–1240) gleichgesetzt. Dies sind jedoch zwei völlig unterschiedliche mathematische Methoden, um Flächen zu teilen, auch wenn das Ergebnis auf den ersten Blick verblüffend ähnlich ist.
Der Fibonacci-Rhythmus im Corporate Design
Corporate Design umschreibt die einheitliche visuelle Darstellung eines Unternehmens oder einer Organisation in den Segmenten Kommunikation- und Grafikdesign, Industriedesign, Architektur und Werbung.
Prominente Beispiele von Corporate Designs, die auf dem Goldenen Schnitt bzw. auf den Fibonacci-Zahlen basieren, sind die visuellen Erscheinungsbilder der Max-Planck-Gesellschaft (Richtlinien zur Gestaltung, 4. überarbeitete Auflage, 2008), der Deutschen Forschungsgemeinschaft (Styleguide 2009) oder der Siemens AG (Styleguide 2002). Der Goldene Schnitt bzw. die Fibonacci-Zahlen werden in diesen Corporate Designs u.a. dafür verwendet, um Flächen von Prospektseiten oder die Motive von Werbeanzeigen zu proportionieren.
Der Mythos Goldener Schnitt in der Schriftgestaltung
Insbesondere im Segment der Schriftgestaltung (Type Design) zirkulieren unzählige Thesen und Behauptungen, die den Mythos des Goldenen Schnitts mehren und nutzen. So wird beispielsweise in der typografischen Literatur und Lehre immer wieder behauptet, die Capitalis Monumentalis auf der römischen Trajanssäule wäre ein Archetype, die nach dem Goldenen Schnitt gestaltet wurde. Oder, der legendäre schweizer Typograf, Schriftschneider und Drucker Jean Jannon (1580–1658) hätte seine »Caractères de L’Université« – basierend auf seiner »Petite Sedanaise« aus dem Jahr 1621 – ebenfalls mit Hilfe der »divina proportio« geschnitten.
Auch zeitgenössische Schriftgestalter wie die Deutschen Kurt Weidemann (1922–2011) und Erik Spiekermann (* 1947), der US-Amerikaner Chad Lindemann oder der Schweizer Adrian Frutiger (1928–2015) beziehen sich bei ihren Schriftentwürfen gerne auf den Goldenen Schnitt bzw. auf die Fibonacci-Reihe.
Streng genommen – also mathematisch evaluiert – stimmen diese Aussagen alle nicht. Mit etwas laissez faire aber, kann man sie durchaus als »Nicht-Mathematiker« mit einem gewissen Augenzwinkern als nette Imagination tolerieren.
Fakt ist jedoch, dass die Typometrie unserer lateinischen Buchstaben im Wesentlichen aus Geraden und Rundungen sowie den Grundformen Quadrat, Dreieck und Kreis besteht. Daran hat sich bis heute nichts geändert.
Die Fibonacci-Reihe im Webdesign
Auch bei der Gestaltung von Websites ist es möglich, sich mittels CSS Cascading Style Sheets 10) auf die Fibonacci-Zahlen zu beziehen. So können beispielsweise Schriftgrade, Spatenbreiten, Zeilenabstände etc. systematisch aufeinander abgestimmt werden. 11)
Die Fibonacci-Folge in der Farbabstimmung
Lehrsätze zur Anwendung von Druckfarben, die sich auf die Fibonacci-Folge bezogen, waren bis zum Ende des Buchdrucks mit beweglichen Bleitypen fast jedem Buchdrucker geläufig. 12)
Heute ist es mit jeder professionellen Desktop Publishing Software (DTP) möglich, z. B. mit InDesign® von Adobe® oder QuarkXpress® von Quark®, sowohl im digitalen RGB-Farbraum (Rot, Grün und Blau) als auch bei Echt- und CMYK-Skalendruckfarben (Cyan, Magenta, Yellow und Key) die Konsistenz, Deckkraft und Tonraster nach den Fibonacci-Zahlen systematisch nach Sättigungsgraden abzustufen.
Theorien, die einen direkten Zusammenhang der prismatischen Farben, der Grundfarben und der Komplementärfarben im Farbenraum mit dem Goldenen Schnitt erklären und daraus eine Farbenlehre ableiten, sind allerdings wissenschaftlich sehr umstritten. 13)
© Wolfgang Beinert, www.typolexikon.de
Quellen / Literatur / Anmerkungen / Tipps:
| ↑1 | Anmerkung: »Euklids Elemente« existieren heute allerdings nur noch in handschriftlichen Überlieferungen, nicht im Original. Die älteste stammt vermutlich aus dem Byzantinischen Reich (ca. 395–1453) des Jahres 888 und wird heute in der Bodleian Library der Universität Oxford in England aufbewahrt. |
| ↑2 | Quelle: Ohm, Martin: Die Reine Elementar-Mathematik, zum Gebrauche an höhern technischen Lehr-Anstalten, Zweiter Band, Zweite Auflage, Seite 194. Jonas Verlags-Buchhandlung Berlin, 1835. Digitalisiert von Google Books, online verfügbar unter https://books.google.de/books?id=KS3yAAAAMAAJ&hl=de&pg=PR3#v=onepage&q&f=false (29.3.2016). |
| ↑3 | Literaturempfehlung: Göttlich Golden Genial. Weltformel Goldener Schnitt? Eine Publikation der Museumsstiftung Post und Telekommunikation, Hirmer Verlag, München, 2016, ISBN 978-3-7774-2689-1. |
| ↑4 | Quelle: Fibonacci, Leonardo: Liber abbaci di Leonardo Pisano, pubblicato secondo la lezione del Codice Magliabechiano, cs cI 2616, fol. 124r., Badia Fiorentina, n. 73 da Baldassarre Boncompagni, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, Italien. |
| ↑5 | Quelle: Winterberg, Constantin: Divina Proportione. Die Lehre vom Goldenen Schnitt – Nach der venezianischen Ausgabe vom Jahre 1509, Universitätsbibliothek Innsbruck; Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 1888, AC00202590 UBI-HB 204347. Die digitale Version steht unter http://www.literature.at/viewer.alo?objid=16478&page=1&viewmode=fullscreen zur Verfügung (29.3.2015). |
| ↑6 | Quelle: Zeising, Adolf: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze Natur und Kunst durchdringenden morphologischen Grundgesetze entwickelt und mit einer vollständigen historischen Uebersicht der bisherigen Systeme begleitet, Weigel Verlag, Leipzig, 1854. Signatur: 8213521 Anthr. 154 8213521 Anthr. 154, Digitale Bibliothek/Bavarica der Bayerische Staatsbibliothek, München. Online Verfügbar unter http://reader.digitale-sammlungen.de/resolve/display/bsb10255661.html |
| ↑7 | Anmerkung: Durchgängig ergeben wissenschaftliche Untersuchungen zur Differenzierung der Präferenz für Proportionen, dass der Goldene Schnitt von der deutlichen Mehrheit der Probanden nicht bevorzugt wird. Dies gilt sowohl für die Beurteilung von schlichten geometrischen Formen bis hin zu der Frage, welche Proportionen nötig sind, um ein Gesicht als schön zu empfinden. |
| ↑8 | Literaturempfehlung: Roberts, Lucienne (Hrsg.), Rebecca Wright (Hrsg.) und Bellos Alex (Hrsg.): Golden Meaning – Fifty Five Graphic Experiments: 1: 1.618, GD& GraphicDesign, 2014, ISBN-10: 0957238118 und ISBN-13: 978-0957238114. |
| ↑9 | Anmerkung. Die oft zitierte Annahme, dass das Octavo-Buchformat auf dem Goldenen Schnitt beruht, ist inkorrekt. |
| ↑10 | Anmerkung: CSS Cascading Style Sheets ist ein weltweiter Standard des W3C (World Wide Web Consortium). |
| ↑11 | Literaturempfehlung: Brown, Tim: More Meaningful Typografy, 2011. Online verfügbar unter https://docs.microsoft.com/en-us/typography/opentype/spec/ (1.4.2016). |
| ↑12 | Literaturempfehlung: Engel-Hardt, Rudolf: Der Goldene Schnitt im Buchgewerbe. Ein Regelwerk für Buchdrucker und Buchgewerbler, Verlag von Julius Mäser, Leipzig-Reudnitz, 1919. |
| ↑13 | Literaturempfelung: Wülfing, Ferdinand: Die Farben und der goldene Schnitt, Pagina Verlag, 2015. ISBN-10: 3944146670. |